Monotonie einer Funktion

Klassifizierung: Analysis > Kurvendiskussion > Monotonie von Funktionen

1. Bezug zur realen Welt

„Puh, jetzt noch 8 km bis zur Hütte“, schnauft Anna.
Ben hält das Höhenprofil vors Handy: „Ab Kilometer 2 geht’s zwar immer bergauf, aber zwischendurch gibt’s flache Aussichtsterrassen. Das nennt man monoton steigend – es wird nie niedriger, nur manchmal bleibt’s gleich hoch.“
„Gut zu wissen“, lächelt Anna. „Wenn kein Stück bergab kommt, kann ich meine Kraft besser einteilen!“

dh.

Jeder Schritt führt dich zu einem höheren Punkt => streng monton steigend
Jeder Schritt führ dich entwender zu einem höheren Punkt oder zu einem gleich hohen Punkt => monton steigend
Jeder Schritt führt dich zu einem gleich hohen Punkt => konstant
Jeder Schritt führt dich zu einem niedrigeren Punkt => streng monton fallend
Jeder Schritt fürhrt dich zu einem gleich hohen oder niedrigeren Punkt => monton fallend.

2. Begriffsdefinitionen

Fachbegriff	Einfache Erklärung (+ Mini-Analogie)	Mathematische Definition
Funktion f	„Kochrezept“: Gib eine Zutat x hinein, erhalte genau einen Wert y.
Intervall	Lückenloser Straßenabschnitt ohne Abzweigung.	Eine zusammenhängende Teilmenge I⊆R (offen, halboffen oder geschlossen).
streng monoton steigend	Jeder Schritt nach rechts macht dich höher – wie eine Leiter ohne gleich hohe Stufen.
monoton steigend	Nie bergab; manchmal flach.
streng monoton fallend	Jeder Schritt wird tiefer – Rutschbahn ohne waagerechte Passagen.
monoton fallend	Nie höher; evtl. waagerecht.
konstant	Komplette Balkonstrecke – immer gleiche Höhe.
Ableitung f′(x)	Tachonadel des Graphen: zeigt sofort + (rauf), – (runter) oder 0 (flach).	(sofern Grenzwert existiert).

Streng = < oder > in der Definition, kein Gleichheitszeichen erlaubt.

Monoton = < oder > darf sich zu ≤ ≥ „abrunden“ – Plateaus sind gestattet.

Merksatz

3. Warum man die Ableitung braucht?

Man könnte nach der bisherigen Definition annehmen, dass man durch bloßes Einsetzen in die Funktion erkennen kann, ob das Intervall / der Abschnitt streng monton steigend … ist.
Das Problem ist, aber, dass es versteckte Plateaus geben kann.

3.1 Beispiel mit versteckten Platteaus

3.2 Warum ist die Ableitung der Star?

Idee	Kurz & verständlich
Lokaler Blick-Test	f′(x) schaut, was passiert, wenn du einen winzigen Schritt nach rechts machst.
Plus, Minus, Null	+ ⇒ Wert wächst – ⇒ Wert sinkt 0 ⇒ bleibt gleich.
Mittelwertsatz	Wenn f′(x)≥0 für alle x im Abschnitt I, dann gibt’s nirgendwo einen Abstieg → f ist dort monoton steigend.
Sicherer als Probieren	Einzelne Testpunkte können Täler übersehen; f′(x) untersucht unendlich viele Mini-Schritte auf einmal.

4. Allgemeine mathematische Erklärung (Merksätze in lockerer Sprache)

Steigung verrät Richtung: f′(x)>0 ⇒ rauf, f′(x)<0 ⇒ runter, f′(x)=0⇒ flach.
Konstantes Vorzeichen ⇒ Monotonie: Bleibt das Ableitungsvorzeichen im ganzen Abschnitt gleich, ist die Funktion dort monoton.
Streng vs. nicht streng: Streng braucht durchgehend > 0 oder < 0. Ein einziges = 0 macht es nur noch „monoton“.
Eselsbrücke: „Plus bleibt Plus → Plus-Genuss; Minus bleibt Minus → Fall wie ein Fluss.“

4.1. Exkurs: streng vs. nicht streng

Ein Intervall, dass als monton steigend/fallend definiert ist, lässt sich in ein oder mehrere streng monton steigende/fallende Abschnitte und konstante Abschnitte zergliedern.

Mathematische Definition (einfach formuliert)
Hat man auf einem Intervall I überall f′(x)≥0, können zwei Dinge passieren:

f′(x) > 0 ⇒ echter Anstieg (streng steigend)
f′(x) = 0 ⇒ flaches Plateau (konstant)

Das Intervall zerfällt also in

Bild im Kopf
Bergwanderung mit Aussichtsterrassen: Gesamtweg nie bergab (= monoton steigend), aber Abschnitte wechseln zwischen Leiterstücken (streng) und Balkonen (konstant).

4.2 Videos

6. Expertenerklärung

Verallgemeinerungen
- Monotone Sequenzen (Folgen) → wichtige Voraussetzung für Konvergenzsätze.
- Isotone Abbildungen in der Ordnungstheorie.
Spezialfälle & Stolperfallen
- Plateaus: f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 auf Teilintervallen ⇒ nur „monoton“, nicht „streng“.
- Offene vs. geschlossene Intervalle: Monotonie wird innen geprüft – Ränder dürfen Ausreißer haben.
Formale Notation & Beweisskizze
Satz: Ist f differenzierbar auf I und f′(x)≥0 (≤0) für alle x ∈ I, dann ist f monoton steigend (fallend).
Beweisidee: Wende den Mittelwertsatz auf zwei Punkte a<b an ⇒ ∃c∈(a,b):f(b)−f(a)=f′(c) (b−a). Vorzeichenvorgabe für f′(c) bestimmt die Richtung von f(b)−f(a).
Ausblick
- Maschinelles Lernen: Monotone neuronale Netze für faire Kreditscoring-Modelle.
- Ökonomie: Nachfragefunktionen meist monoton fallend; Elastizitäts-Analysen.
Stolperfalle „Plateaus“: Ein langer Abschnitt mit f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 macht die Funktion dort konstant, nicht fallend, aber auch nicht streng steigend.
Isolierte Nullstellen: Eine streng steigende Funktion darf einzelne Punkte haben, wo f′(x)=0 (z. B. x3x^3×3 bei 0) – solange drum herum immer > ⁣0 bleibt.

6.1 Beispiel “Plateaus”

6.2 Beispiel Isolierte Nullstellen

6 Python-Funktionen

Python Funktion zur Berechnung

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from typing import Callable, Tuple, List

def solve_monotonie(
    func: Callable[[float], float],
    d_func: Callable[[float], float],
    interval: Tuple[float, float],
    samples: int = 1000,
) -> Tuple[List[Tuple[float, float]], List[Tuple[float, float]]]:
    """
    Bestimmt streng steigende und streng fallende Teilintervalle einer Funktion.

    Args:
        func: Originalfunktion f(x).
        d_func: Ableitung f'(x).
        interval: Untersuchungsintervall (a, b).
        samples: Anzahl der Testpunkte pro Teilintervall.

    Returns:
        (steigend, fallend) – Listen von Intervallen.
    """
    a, b = interval
    xs = np.linspace(a, b, samples)
    sign = np.sign(d_func(xs))

    steig, fall = [], []
    start = xs[0]
    current = sign[0]

    for i in range(1, len(xs)):
        if sign[i] != current:
            sub_int = (start, xs[i - 1])
            if current > 0:
                steig.append(sub_int)
            elif current < 0:
                fall.append(sub_int)
            start, current = xs[i], sign[i]

    # letztes Teilintervall anhängen
    sub_int = (start, xs[-1])
    if current > 0:
        steig.append(sub_int)
    elif current < 0:
        fall.append(sub_int)

    return steig, fall


def plot_monotonie(
    func: Callable[[float], float], interval: Tuple[float, float], num_points: int = 400
) -> None:
    """
    Visualisiert den Funktionsgraphen sowie steigende/fallende Bereiche.

    Args:
        func: Originalfunktion f(x).
        interval: Plotintervall (a, b).
        num_points: Auflösung des Plots.
    """
    a, b = interval
    xs = np.linspace(a, b, num_points)
    ys = func(xs)

    plt.figure(figsize=(8, 4))
    plt.plot(xs, ys)
    plt.title("Funktionsgraph und Monotonieverhalten")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("f(x)")
    plt.grid(True)
    plt.show()

Beispiel: Setze func = lambda x: -0.1*x**3 + 0.6*x**2 - 1 und leite symbolisch oder numerisch ab.

7 weiterführende Links

Wikipedia – Monotonie (Mathematik)
Paul’s Online Math Notes – “Increasing/Decreasing Functions”
MIT OCW 18.01 – Lectures on the First Derivative Test
arXiv: “Isotonic Regression and its Applications”
GeoGebra-Applet: “Monotone Funktionen interaktiv”
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
Studyflix – Monotonie
Was versteht man unter der Monotonie einer Funktion?
Lernhelfer – Monotonie von Funktionen

Monotonie einer Funktion

1. Bezug zur realen Welt

2. Begriffsdefinitionen