Monotonie einer Funktion

Klassifizierung: Analysis > Kurvendiskussion > Monotonie von Funktionen

1. Bezug zur realen Welt

„Puh, jetzt noch 8 km bis zur Hütte“, schnauft Anna.
Ben hält das Höhenprofil vors Handy: „Ab Kilometer 2 geht’s zwar immer bergauf, aber zwischendurch gibt’s flache Aussichtsterrassen. Das nennt man monoton steigend – es wird nie niedriger, nur manchmal bleibt’s gleich hoch.“
„Gut zu wissen“, lächelt Anna. „Wenn kein Stück bergab kommt, kann ich meine Kraft besser einteilen!“

dh.

• Jeder Schritt führt dich zu einem höheren Punkt => streng monton steigend
• Jeder Schritt führ dich entwender zu einem höheren Punkt oder zu einem gleich hohen Punkt => monton steigend
• Jeder Schritt führt dich zu einem gleich hohen Punkt => konstant
• Jeder Schritt führt dich zu einem niedrigeren Punkt => streng monton fallend
• Jeder Schritt fürhrt dich zu einem gleich hohen oder niedrigeren Punkt => monton fallend.

2. Begriffsdefinitionen

Fachbegriff	Einfache Erklärung (+ Mini-Analogie)	Mathematische Definition
Funktion f	„Kochrezept“: Gib eine Zutat x hinein, erhalte genau einen Wert y.
Intervall	Lückenloser Straßenabschnitt ohne Abzweigung.	Eine zusammenhängende Teilmenge I⊆R (offen, halboffen oder geschlossen).
streng monoton steigend	Jeder Schritt nach rechts macht dich höher – wie eine Leiter ohne gleich hohe Stufen.
monoton steigend	Nie bergab; manchmal flach.
streng monoton fallend	Jeder Schritt wird tiefer – Rutschbahn ohne waagerechte Passagen.
monoton fallend	Nie höher; evtl. waagerecht.
konstant	Komplette Balkonstrecke – immer gleiche Höhe.
Ableitung f′(x)	Tachonadel des Graphen: zeigt sofort + (rauf), – (runter) oder 0 (flach).	(sofern Grenzwert existiert).

• Streng = < oder > in der Definition, kein Gleichheits­zeichen erlaubt.
• Monoton = < oder > darf sich zu ≤ ≥ „abrunden“ – Plateaus sind gestattet.

Merksatz

3. Warum man die Ableitung braucht?

Man könnte nach der bisherigen Definition annehmen, dass man durch bloßes Einsetzen in die Funktion erkennen kann, ob das Intervall / der Abschnitt streng monton steigend … ist.
Das Problem ist, aber, dass es versteckte Plateaus geben kann.

3.1 Beispiel mit versteckten Platteaus

3.2 Warum ist die Ableitung der Star?

Idee	Kurz & verständlich
Lokaler Blick-Test	f′(x) schaut, was passiert, wenn du einen winzigen Schritt nach rechts machst.
Plus, Minus, Null	+ ⇒ Wert wächst  – ⇒ Wert sinkt  0 ⇒ bleibt gleich.
Mittelwertsatz	Wenn f′(x)≥0 für alle x im Abschnitt I, dann gibt’s nirgendwo einen Abstieg → f ist dort monoton steigend.
Sicherer als Probieren	Einzelne Testpunkte können Täler übersehen; f′(x) untersucht unendlich viele Mini-Schritte auf einmal.

4. Allgemeine mathematische Erklärung (Merksätze in lockerer Sprache)

1. Steigung verrät Richtung: f′(x)>0 ⇒ rauf, f′(x)<0 ⇒ runter, f′(x)=0⇒ flach.
2. Konstantes Vorzeichen ⇒ Monotonie: Bleibt das Ableitungs­vorzeichen im ganzen Abschnitt gleich, ist die Funktion dort monoton.
3. Streng vs. nicht streng: Streng braucht durchgehend > 0 oder < 0. Ein einziges = 0 macht es nur noch „monoton“.
4. Eselsbrücke: „Plus bleibt Plus → Plus-Genuss; Minus bleibt Minus → Fall wie ein Fluss.“

4.1. Exkurs: streng vs. nicht streng

Ein Intervall, dass als monton steigend/fallend definiert ist, lässt sich in ein oder mehrere streng monton steigende/fallende Abschnitte und konstante Abschnitte zergliedern.

Mathematische Definition (einfach formuliert)
Hat man auf einem Intervall I überall f′(x)≥0, können zwei Dinge passieren:

• f′(x)  >  0 ⇒ echter Anstieg (streng steigend)
• f′(x)  =  0 ⇒ flaches Plateau (konstant)

Das Intervall zerfällt also in

Bild im Kopf
Bergwanderung mit Aussichtsterrassen: Gesamtweg nie bergab (= monoton steigend), aber Abschnitte wechseln zwischen Leiterstücken (streng) und Balkonen (konstant).

4.2 Videos

• „Monotonieverhalten bestimmen: So geht’s!“ – Studyflix
• „Introduction to increasing, decreasing, positive or negative intervals“ – Khan Academy

6. Expertenerklärung

• Verallgemeinerungen
  • Monotone Sequenzen (Folgen) → wichtige Voraussetzung für Konvergenz­sätze.
  • Isotone Abbildungen in der Ordnungstheorie.
• Spezialfälle & Stolperfallen
  • Plateaus: f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 auf Teilintervallen ⇒ nur „monoton“, nicht „streng“.
  • Offene vs. geschlossene Intervalle: Monotonie wird innen geprüft – Ränder dürfen Ausreißer haben.
• Formale Notation & Beweisskizze
• Satz: Ist f differenzierbar auf I und f′(x)≥0 (≤0) für alle x ∈ I, dann ist f monoton steigend (fallend).
• Beweisidee: Wende den Mittelwertsatz auf zwei Punkte a<b an ⇒ ∃c∈(a,b):f(b)−f(a)=f′(c) (b−a). Vorzeichenvorgabe für f′(c) bestimmt die Richtung von f(b)−f(a).
• Ausblick
  • Maschinelles Lernen: Monotone neuronale Netze für faire Kredit­scoring-Modelle.
  • Ökonomie: Nachfragefunktionen meist monoton fallend; Elastizitäts-Analysen.
• Stolperfalle „Plateaus“: Ein langer Abschnitt mit f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 macht die Funktion dort konstant, nicht fallend, aber auch nicht streng steigend.
• Isolierte Nullstellen: Eine streng steigende Funktion darf einzelne Punkte haben, wo f′(x)=0 (z. B. x3x^3×3 bei 0) – solange drum herum immer > ⁣0 bleibt.

6.1 Beispiel „Plateaus“

6.2 Beispiel Isolierte Nullstellen

6 Python-Funktionen

Python Funktion zur Berechnung

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from typing import Callable, Tuple, List

def solve_monotonie(
    func: Callable[[float], float],
    d_func: Callable[[float], float],
    interval: Tuple[float, float],
    samples: int = 1000,
) -> Tuple[List[Tuple[float, float]], List[Tuple[float, float]]]:
    """
    Bestimmt streng steigende und streng fallende Teilintervalle einer Funktion.

    Args:
        func: Originalfunktion f(x).
        d_func: Ableitung f'(x).
        interval: Untersuchungsintervall (a, b).
        samples: Anzahl der Testpunkte pro Teilintervall.

    Returns:
        (steigend, fallend) – Listen von Intervallen.
    """
    a, b = interval
    xs = np.linspace(a, b, samples)
    sign = np.sign(d_func(xs))

    steig, fall = [], []
    start = xs[0]
    current = sign[0]

    for i in range(1, len(xs)):
        if sign[i] != current:
            sub_int = (start, xs[i - 1])
            if current > 0:
                steig.append(sub_int)
            elif current < 0:
                fall.append(sub_int)
            start, current = xs[i], sign[i]

    # letztes Teilintervall anhängen
    sub_int = (start, xs[-1])
    if current > 0:
        steig.append(sub_int)
    elif current < 0:
        fall.append(sub_int)

    return steig, fall


def plot_monotonie(
    func: Callable[[float], float], interval: Tuple[float, float], num_points: int = 400
) -> None:
    """
    Visualisiert den Funktionsgraphen sowie steigende/fallende Bereiche.

    Args:
        func: Originalfunktion f(x).
        interval: Plotintervall (a, b).
        num_points: Auflösung des Plots.
    """
    a, b = interval
    xs = np.linspace(a, b, num_points)
    ys = func(xs)

    plt.figure(figsize=(8, 4))
    plt.plot(xs, ys)
    plt.title("Funktionsgraph und Monotonieverhalten")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("f(x)")
    plt.grid(True)
    plt.show()

Beispiel: Setze func = lambda x: -0.1*x**3 + 0.6*x**2 - 1 und leite symbolisch oder numerisch ab.

7 weiterführende Links

• Wikipedia – Monotonie (Mathematik)
• Paul’s Online Math Notes – “Increasing/Decreasing Functions”
• MIT OCW 18.01 – Lectures on the First Derivative Test
• arXiv: “Isotonic Regression and its Applications”
• GeoGebra-Applet: “Monotone Funktionen interaktiv”
• Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
• Studyflix – Monotonie
• Was versteht man unter der Monotonie einer Funktion?
• Lernhelfer – Monotonie von Funktionen